下のスライダーを動かすと、原点が太陽から地球へ移ります。計算はまったくやり直していません。どの惑星もその場にいるままで、現れるループは「地球自身の運動を引く」とはどう見えるかを示しているだけです。
位置はベクトルであり、ベクトルには始点が要ります。地球の位置を E、惑星の位置を P とすると、太陽中心の図は P を、地球中心の図は P から E を引いたものを描きます。すべてから同じ量を引いても、二天体間の距離も角度も変わりません。したがって両者は空における位置についてまったく同じ予言をします。競合する二つの予言ではなく、同じ予言を二つの座標系で書いたものです。
だから上の操作はスイッチではなくスライダーです。途中で止めた状態——原点が太陽と地球の間のどこか——も完全に正当な座標系であり、両端より間違っているわけではありません。太陽中心が優れているのは「真で、他方が偽」だからではありません。そこでは軌道が単純な閉曲線になり、もう一方ではならない、それだけです。
つまり周転円はつじつま合わせの小細工ではありません。惑星がこちらのどちら側にいるかに応じて、地球の軌道そのもの、あるいはその惑星の軌道そのものです。大きさも周期もそこから決まり、どちらも検算できます。
外惑星の周転円周期はどれもちょうど一年、半径比はどれもちょうど 1/a です。プトレマイオスにこの一致を説明する手立てはありませんでした。コペルニクスには説明が要りませんでした。彼の図ではそれは偶然ではなく、地球が一周しているというだけのことだからです。
上の図は理想化した従円・周転円モデルで、太陽中心モデルと完全に等価です。『アルマゲスト』ははるかに精巧であり、同じものとして扱うのは不当です。
同時にこの運動は、どの点のまわりでも等速円運動ではありません。プトレマイオスの批判者たち——コペルニクスを含む——が受け入れられなかったのはまさにそこでした。不満は「計算が合わない」ではなく、「自分で掲げた規則を破っている」でした。
決着をつけた観測はもっと後です。ガリレオの望遠鏡は、金星が凸相を含む全種類の満ち欠けを見せることを示しました。それには金星が太陽の向こう側へ回る必要があり、つねに地球と太陽の間にとどまる周転円に乗っているならありえません。木星の衛星は、すべてが地球を回っているわけではないことを示しました。直接の証拠である年周視差は 1838 年まで待つことになります。
持ち帰る価値があるのは、スライダーが示していることです。座標系の取り替えは無料であり、記述がいちばん簡単になる座標系を選ぶのは、記述についての決定であって真理についての決定ではありません。惑星は、私たちが原点をどこに置いたか知りません。
| 惑星 | a（AU） | 周転円／従円 | 周転円の周期 |
|---|---|---|---|
| 水星 （内惑星） | 0.387 | 0.387 | 0.24 年 |
| 金星 （内惑星） | 0.723 | 0.723 | 0.62 年 |
| 火星 | 1.524 | 0.656 | 1 年 |
| 木星 | 5.203 | 0.192 | 1 年 |
| 土星 | 9.537 | 0.105 | 1 年 |
| 天王星 | 19.189 | 0.052 | 1 年 |
| 海王星 | 30.07 | 0.033 | 1 年 |
P 引く E を二つに分ければ、そこに従円と周転円があります。地球より外側の惑星なら、従円がある点を P まで運び、周転円のベクトルを「マイナス E」とします。周転円とは地球自身の軌道を逆側から見たものです。地球より内側の惑星では役割が入れ替わります。従円は点を「マイナス E」、つまりここから見た太陽の方向へ運び、周転円のベクトルが P になります。
プトレマイオスの惑星は、地球を中心とする円の上を走ってはいません。従円の中心は地球からずれており、周転円の中心が等しい角度を掃くのはその中心のまわりではなく、反対側に置かれた第三の点——エカントのまわりです。この工夫によって、惑星が軌道のある部分で速く動くことを再現できました。離心率が小さければ、それはケプラーの第二法則の驚くほど良い近似であり、十三世紀も早い仕事です。
精度では負けていません。肉眼で見える位置に関する限り、よく調整されたプトレマイオス模型とコペルニクスの原型は区別しにくく、しかもコペルニクスも円にこだわったため周転円を使い続けました。地球中心の体系の弱点は、もう一方がただで手に入れるものを手作業で入れなければならない点です。上の表の「一年」を外惑星ごとに別々に書き込むこと、そして水星と金星が太陽の方向に縛られていることです。
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軌道要素は NASA/JPL「Keplerian Elements for Approximate Positions of the Major Planets」（Standish & Williams, 1992）より、有効範囲は 1800–2050 年。位置は幾何位置で、光行時と光行差は含みません。黄道面の教材図であり、望遠鏡の視野の再現ではないためです。