プトレマイオスの体系と地動説

下のスライダーを動かすと、原点が太陽から地球へ移ります。計算はまったくやり直していません。どの惑星もその場にいるままで、現れるループは「地球自身の運動を引く」とはどう見えるかを示しているだけです。

天動説（プトレマイオスの体系）とは何か

天動説とは、地球を宇宙の中心に置き、太陽・月・惑星がすべて地球のまわりを回るとする模型で、プトレマイオスは『アルマゲスト』でこれを惑星の位置を実際に予測できる幾何学の体系にまとめました。惑星の空での方向は計算でき、まったく使えなかったわけではありません。問題は惑星の経路に多くのループが現れ、周転円・離心円・エカントといった補正が必要になることでした。

周転円と従円とは何か

従円は地球を中心とする大きな円、周転円はその中心が従円の上を進む小さな円で、惑星は周転円の上を回ります。同じ惑星位置の組の原点を太陽から地球へ移す、つまり各座標から地球の位置を引くと、外惑星の経路には小さなループの列がひとりでに現れます。これが周転円で、その正体は地球自身の公転です。

地動説はなぜ天動説に取って代わったのか

太陽を中心にすると惑星の経路が単純になり、逆行に余分な円を描く必要がなくなり、外惑星の一年周期や水星・金星がつねに太陽の近くにあることも、地球の公転ひとつで説明できるからです。ただし肉眼での位置予測の精度では、初期の地動説の模型がよく調整されたプトレマイオスの模型よりすぐに優れていたわけではありません。ガリレオが望遠鏡で金星の満ち欠けの全段階と木星の衛星を観測し、1838 年に初めて恒星の年周視差が測られて、地球が太陽を回る直接の証拠が得られました。

地球から惑星の道を描くと、軌道にループが現れる

同じ惑星位置でも、太陽中心なら軌道、地球中心ならループになります。違いは座標の原点から始まります。

地図の原点をどこに置くか

太陽を原点にすれば惑星は日心軌道を進みます。原点を地球へ移すと、各惑星位置から地球位置を差し引く必要があり、紙に描かれる形も変わります。

原点スライダーを動かしても太陽系そのものは変わりません。惑星間の距離と地球から見える方向は同じで、それを説明する座標だけが変わります。

小さな輪は地球自身の公転から生まれる

外惑星の地心経路には連続したループが現れます。一部は惑星の公転、もう一部は地球運動を逆向きに差し引いた結果で、後者が本輪に似た円を作ります。

地心座標でも空の方向は計算できます。日心表現の利点は経路が簡単になり、軌道距離と周期の関係を一つの物理法則で説明できることです。

太陽中心モデルは描く円が少なく、周期にも共通の原因を与える

地球中心の座標でも、惑星の空での方向は計算できます。問題は使えないことではありません。太陽を中心にすると惑星の経路は単純になり、太陽から遠いほど公転周期が長いといった規則も同じ物理の説明に収まります。

スライダーをゆっくり太陽へ戻すと、地球中心の図にあったループがより単純な軌道にまとまります。日心の記述が便利なのはここです。観測は何も変わっていないのに、別に説明しなければならない形が大きく減ります。

同じ幾何、二つの原点

位置はベクトルであり、ベクトルには始点が要ります。地球の位置を E、惑星の位置を P とすると、太陽中心の図は P を、地球中心の図は P から E を引いたものを描きます。すべてから同じ量を引いても、二天体間の距離も角度も変わりません。したがって両者は空における位置についてまったく同じ予言をします。競合する二つの予言ではなく、同じ予言を二つの座標系で書いたものです。

だから上の操作はスイッチではなくスライダーです。途中で止めた状態——原点が太陽と地球の間のどこか——も完全に正当な座標系であり、両端より間違っているわけではありません。太陽中心が優れているのは「真で、他方が偽」だからではありません。そこでは軌道が単純な閉曲線になり、もう一方ではならない、それだけです。

地心図に現れるあの輪は、夜空では惑星が数週間ほど後戻りして見える期間そのものです。逆行の回は同じ位置データを背景の恒星に投影し、各惑星の次の逆行日も並べています。

周転円はどこから出てくるのか

つまり周転円はつじつま合わせの小細工ではありません。惑星がこちらのどちら側にいるかに応じて、地球の軌道そのもの、あるいはその惑星の軌道そのものです。大きさも周期もそこから決まり、どちらも検算できます。

外惑星の周転円周期はどれもちょうど一年、半径比はどれもちょうど 1/a です。プトレマイオスにこの一致を説明する手立てはありませんでした。コペルニクスには説明が要りませんでした。彼の図ではそれは偶然ではなく、地球が一周しているというだけのことだからです。

これはプトレマイオスが実際に作ったものではありません

上の図は理想化した従円・周転円モデルで、太陽中心モデルと完全に等価です。『アルマゲスト』ははるかに精巧であり、同じものとして扱うのは不当です。

同時にこの運動は、どの点のまわりでも等速円運動ではありません。プトレマイオスの批判者たち——コペルニクスを含む——が受け入れられなかったのはまさにそこでした。不満は「計算が合わない」ではなく、「自分で掲げた規則を破っている」でした。

では、なぜ敗れたのか

決着をつけた観測はもっと後です。ガリレオの望遠鏡は、金星が凸相を含む全種類の満ち欠けを見せることを示しました。それには金星が太陽の向こう側へ回る必要があり、つねに地球と太陽の間にとどまる周転円に乗っているならありえません。木星の衛星は、すべてが地球を回っているわけではないことを示しました。直接の証拠である年周視差は 1838 年まで待つことになります。

金星の満ち欠けという証拠には、最大離角の回に実際の数字があります。過去十六年の最大離角で、金星の輝面比はいずれも 49% から 51% の間でした。

持ち帰る価値があるのは、スライダーが示していることです。座標系の取り替えは無料であり、記述がいちばん簡単になる座標系を選ぶのは、記述についての決定であって真理についての決定ではありません。惑星は、私たちが原点をどこに置いたか知りません。

周転円はどこから出てくるのか

惑星a（AU）周転円／従円周転円の周期
水星 （内惑星）0.3870.3870.24 年
金星 （内惑星）0.7230.7230.62 年
火星1.5240.6561 年
木星5.2030.1921 年
土星9.5370.1051 年
天王星19.1890.0521 年
海王星30.070.0331 年
よくある質問

原点を地球へ移すと、なぜ周転円が現れるのですか？

P 引く E を二つに分ければ、そこに従円と周転円があります。地球より外側の惑星なら、従円がある点を P まで運び、周転円のベクトルを「マイナス E」とします。周転円とは地球自身の軌道を逆側から見たものです。地球より内側の惑星では役割が入れ替わります。従円は点を「マイナス E」、つまりここから見た太陽の方向へ運び、周転円のベクトルが P になります。

プトレマイオスの体系は、地球を中心にした一つの円だけですか？

プトレマイオスの惑星は、地球を中心とする円の上を走ってはいません。従円の中心は地球からずれており、周転円の中心が等しい角度を掃くのはその中心のまわりではなく、反対側に置かれた第三の点——エカントのまわりです。この工夫によって、惑星が軌道のある部分で速く動くことを再現できました。離心率が小さければ、それはケプラーの第二法則の驚くほど良い近似であり、十三世紀も早い仕事です。

地動説は当初から天動説より予測精度が高かったのですか？

精度では負けていません。肉眼で見える位置に関する限り、よく調整されたプトレマイオス模型とコペルニクスの原型は区別しにくく、しかもコペルニクスも円にこだわったため周転円を使い続けました。地球中心の体系の弱点は、もう一方がただで手に入れるものを手作業で入れなければならない点です。上の表の「一年」を外惑星ごとに別々に書き込むこと、そして水星と金星が太陽の方向に縛られていることです。

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軌道要素は NASA/JPL「Keplerian Elements for Approximate Positions of the Major Planets」（Standish & Williams, 1992）より、有効範囲は 1800–2050 年。位置は幾何位置で、光行時と光行差は含みません。黄道面の教材図であり、望遠鏡の視野の再現ではないためです。