托勒密模型與日心模型

拖動滑桿，可以把座標原點從太陽逐步移到地球。行星的位置資料全程相同；地心圖上的迴圈，是每個座標都扣除地球位置之後得到的路徑。

地心說（托勒密模型）是什麼？

地心說是以地球為宇宙中心、太陽、月亮和行星都繞著地球運行的模型，托勒密在《天文學大成》裡把它整理成能實際預測行星位置的幾何系統。它算得出行星在天空的方向，問題不在於完全不能用，而是行星的路線上多出許多迴圈，需要本輪、偏心圓與均衡點等修正。

本輪和均輪是什麼？

均輪是以地球為中心的大圓，本輪是圓心沿著均輪運行的小圓，行星則在本輪上繞行。把同一組行星位置的原點從太陽搬到地球，每個座標扣掉地球的位置後，外行星的路線會自動長出一連串小迴圈，那就是本輪；它其實來自地球自己的公轉。

日心說為什麼取代了地心說？

因為以太陽為中心後，行星路線變得簡單，逆行不必另外畫圈就能解釋，外行星的一年週期和水星、金星總在太陽附近，也能用地球公轉統一說明。不過以肉眼位置的預測精度來看，日心模型一開始並沒有立刻比調校良好的托勒密模型準；後來伽利略觀測到金星的完整相位、木星有自己的衛星，1838 年又量到恆星視差，才給了地球繞太陽的直接證據。

站在地球上畫行星路線，軌道會多出一個個迴圈

同一組行星位置，以太陽為中心時是軌道，以地球為中心時卻會長出迴圈。差別從原點放在哪裡開始。

一張圖畫成什麼樣，得先看原點放在哪裡

以太陽為中心記錄位置，八顆行星各自在軌道上前進。把原點改放到地球，計算時便要從每顆行星的位置扣掉地球的位置，畫出來的路線也跟著改變。

拖動原點滑桿時，太陽系沒有切換成另一個版本。行星彼此相隔多遠、我們實際看見哪個方向都一樣，變的是地圖選擇用誰當作固定不動的中心。

小迴圈從地球自己的公轉裡冒出來

外行星的地心路線會出現一連串小迴圈。把運動拆開來看，一部分是行星繞太陽前進，另一部分來自地球自己的公轉；將地球的位移反向扣除，那個規律的小圈便會出現在圖上。

古代天文學用均輪和本輪描述這類路徑，並不是毫無根據地加圓圈。不過完整的托勒密模型還用到偏心圓與均衡點，這頁只處理最容易從座標轉換看出的部分。

日心模型少畫了很多圈，也讓週期有了共同原因

地心座標仍能算出行星在天空的方向，問題不在於它完全不能用。以太陽為中心後，行星路線變得簡單，距離太陽越遠、公轉週期越長等規律也能放進同一套物理說明。

把滑桿慢慢移回太陽，地心圖上的迴圈會收成較單純的軌道。這正是日心描述好用的地方：觀測沒有改變，需要另外解釋的形狀卻少了很多。

同一個幾何，兩個原點

位置向量必須指定起點。若地球的位置是 E、行星的位置是 P，日心座標使用 P，地心座標則使用 P−E。所有天體同時減去 E，不會改變天體彼此的距離或從地球看到的夾角，因此兩張圖給出的星空位置相同。

滑桿停在中間時，原點位於太陽和地球之間，數學上仍是有效的座標系。實務上偏好日心座標，是因為行星在這套座標裡沿簡單的封閉軌道運行，計算和比較都比較方便。

地心圖上那個迴圈，在夜空裡就是行星倒退走的那幾週。逆行那一課把同一批位置投到背景恆星上，還列出每顆行星接下來幾次逆行的日期。

均輪與本輪的向量分解

在這個幾何分解裡，本輪的大小和週期不是任意參數。外行星的本輪來自地球軌道，內行星的本輪來自行星軌道，都可以直接由軌道資料核對：

每顆外行星的本輪週期都是一年，半徑比則是 1/a。放在日心座標裡看，原因很直接：這個本輪項就是地球完成一圈公轉所造成的。

托勒密實際使用的模型

上圖是用來說明座標轉換的理想化均輪—本輪模型。《天文學大成》的計算系統還包含其他幾何裝置，不能直接與這張圖畫上等號。

不過，以均衡點定義的等速運動，並不是繞著均輪圓心做均勻圓周運動。包括哥白尼在內的批評者在意的正是這點：模型雖能預測位置，卻偏離了當時所追求的均勻圓周原則。

日心架構如何取代地心架構

後來的望遠鏡觀測提供了更強的判別。伽利略看到金星具有包含盈凸相在內的完整相位，表示金星能運行到太陽後方；木星衛星則顯示並非所有天體都繞地球。直到 1838 年，天文學家才首次可靠量得恆星視差，取得地球繞太陽的直接證據。

金星相位這條證據，最大距角那一課有實際數字：過去十六年每次大距，金星的照亮比例都落在 49% 到 51% 之間。

滑桿展示的是座標選擇的效果：改變原點不會改變天體彼此的實際關係，但會讓軌跡變得簡單或複雜。天文計算通常選擇能讓問題最容易處理的座標系。

均輪與本輪的向量分解

行星a（AU）本輪／均輪本輪週期
水星 （內行星）0.3870.3870.24 年
金星 （內行星）0.7230.7230.62 年
火星1.5240.6561 年
木星5.2030.1921 年
土星9.5370.1051 年
天王星19.1890.0521 年
海王星30.070.0331 年
常見問題

把原點移到地球，為什麼會出現本輪？

把 P−E 分成兩個向量，就會得到均輪和本輪。對外行星而言，均輪走到 P，本輪使用 −E；換句話說，本輪對應地球軌道，只是方向相反。對內行星，兩個向量的角色交換：均輪沿著從地球看太陽的方向走，本輪則對應行星自己的軌道。

托勒密模型只是以地球為中心的一個圓嗎？

托勒密並未假設行星繞著以地球為圓心的單一圓周運動。均輪圓心偏離地球，本輪中心的角速度則以另一側的均衡點為基準。這套安排能表現行星在軌道不同區段速度有快有慢；當偏心率不大時，它對克卜勒第二定律有相當好的近似效果。

日心模型一開始就比地心模型預測得準嗎？

以肉眼位置的預測精度來看，調校良好的托勒密模型和哥白尼早期模型差距不大；哥白尼為了維持圓周運動，同樣使用了本輪。日心架構的優點在於能用地球公轉統一說明外行星的一年週期，也能自然交代水星、金星總在太陽附近。

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軌道元素取自 NASA/JPL「Keplerian Elements for Approximate Positions of the Major Planets」（Standish & Williams, 1992），適用 1800–2050 年。位置為幾何位置，未計入光行時與光行差——這是黃道面的教學圖，不是望遠鏡視野的模擬。